Mengupas Tuntas Soal HOTS Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1: Membangun Kemampuan Berpikir Kritis dan Kreatif

Kurikulum pendidikan di Indonesia terus beradaptasi untuk membekali siswa dengan kemampuan yang relevan di abad ke-21. Salah satu penekanan penting adalah pengembangan Higher Order Thinking Skills (HOTS), yaitu kemampuan berpikir tingkat tinggi yang mencakup analisis, evaluasi, dan kreasi. Dalam mata pelajaran Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1, soal-soal HOTS menjadi tantangan menarik sekaligus penting bagi siswa untuk melampaui sekadar hafalan rumus dan prosedur.

Artikel ini akan mengupas tuntas contoh-contoh soal HOTS Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1, lengkap dengan analisis mendalam mengenai indikator pencapaiannya, strategi penyelesaian, dan bagaimana soal-soal ini dirancang untuk mengasah kemampuan berpikir kritis dan kreatif siswa.

Apa Itu Soal HOTS dan Mengapa Penting?

Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita pahami esensi soal HOTS. Berbeda dengan soal LOTS (Lower Order Thinking Skills) yang cenderung menguji ingatan, pemahaman dasar, atau aplikasi langsung, soal HOTS menuntut siswa untuk:

• Menganalisis: Memecah informasi menjadi bagian-bagian kecil, mengidentifikasi hubungan, dan memahami struktur suatu masalah.
• Mengevaluasi: Menilai informasi, membuat pertimbangan berdasarkan kriteria, dan mengambil keputusan.
• Menciptakan: Menggabungkan ide-ide yang ada untuk menghasilkan sesuatu yang baru, merancang solusi, atau mengembangkan strategi.

Mengapa soal HOTS penting?

1. Mempersiapkan Masa Depan: Dunia kerja modern membutuhkan individu yang mampu memecahkan masalah kompleks, berinovasi, dan beradaptasi. HOTS adalah fondasi utama untuk keterampilan tersebut.
2. Pemahaman Konsep yang Mendalam: Soal HOTS mendorong siswa untuk tidak hanya menghafal, tetapi benar-benar memahami konsep matematika dan bagaimana menerapkannya dalam berbagai konteks.
3. Mengembangkan Kemampuan Pemecahan Masalah: Matematika adalah bahasa pemecahan masalah. Soal HOTS memaksa siswa untuk berpikir di luar kotak, mencari berbagai pendekatan, dan tidak terpaku pada satu cara.
4. Meningkatkan Kepercayaan Diri: Siswa yang terbiasa menghadapi tantangan berpikir tingkat tinggi akan lebih percaya diri dalam menghadapi soal-soal sulit, baik di ujian maupun dalam kehidupan nyata.

Materi Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1 yang Relevan untuk Soal HOTS

Pada semester 1 kelas 11, materi Matematika Peminatan umumnya meliputi:

• Fungsi Trigonometri: Grafik, periode, amplitudo, pergeseran, dan identitas trigonometri.
• Persamaan Trigonometri: Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam berbagai bentuk.
• Turunan Fungsi Trigonometri: Konsep turunan, aturan turunan, dan penerapannya.
• Limit Fungsi Trigonometri: Konsep limit, sifat-sifat limit, dan perhitungan limit fungsi trigonometri.

Soal-soal HOTS akan mengintegrasikan konsep-konsep ini, seringkali dengan menggabungkan beberapa materi atau menyajikannya dalam konteks masalah dunia nyata.

Contoh Soal HOTS Matematika Peminatan Kelas 11 Semester 1 dan Analisisnya

Mari kita bedah beberapa contoh soal HOTS yang dirancang untuk menguji kemampuan analisis, evaluasi, dan kreasi siswa.

Contoh Soal 1: Analisis Grafik dan Pemahaman Konteks (Fungsi Trigonometri)

Soal:
Sebuah bandul sederhana berayun dengan gerakan harmonis. Ketinggian bandul dari titik terendah dalam meter setelah t detik dapat dimodelkan oleh fungsi $h(t) = A sin(Bt + C) + D$. Diketahui bahwa ketinggian maksimum bandul adalah 1.5 meter dan ketinggian minimumnya adalah 0.5 meter. Bandul mencapai ketinggian maksimum pertamanya pada $t = frac16$ detik, dan pada $t=0$ detik, bandul berada pada ketinggian 1 meter dan sedang bergerak ke atas.

Tentukan:
a. Nilai-nilai $A$, $B$, $C$, dan $D$.
b. Persamaan lengkap fungsi ketinggian bandul.
c. Kapan pertama kali bandul mencapai titik terendah setelah berayun dari ketinggian 1 meter pada $t=0$?

Indikator HOTS: Menganalisis informasi kontekstual untuk menentukan parameter fungsi trigonometri, mengevaluasi kondisi awal gerakan, dan memprediksi perilaku sistem berdasarkan model matematika.

Analisis Soal:

• Bagian a (Menentukan Parameter):

  • $D$ (Pergeseran Vertikal): Titik tengah amplitudo. $D = frachmax + hmin2 = frac1.5 + 0.52 = 1$.
  • $A$ (Amplitudo): Setengah dari rentang ketinggian. $A = frachmax – hmin2 = frac1.5 – 0.52 = 0.5$.
  • $B$ (Frekuensi Sudut): Ini adalah bagian yang memerlukan analisis lebih lanjut. Soal menyatakan bandul mencapai ketinggian maksimum pertamanya pada $t = frac16$ detik. Ketinggian maksimum terjadi ketika $sin(Bt + C) = 1$. Untuk fungsi sinus, puncak pertama terjadi pada $frac14$ periode. Jadi, dari $t=0$ ke $t=frac16$ adalah seperempat periode. Periode $P = 4 times frac16 = frac23$ detik. Hubungan antara $B$ dan periode adalah $P = frac2piB$, sehingga $B = frac2piP = frac2pi2/3 = 3pi$.
  • $C$ (Pergeseran Fase): Kita tahu pada $t=0$, $h(0) = 1$.
    $1 = A sin(B cdot 0 + C) + D$
    $1 = 0.5 sin(C) + 1$
    $0 = 0.5 sin(C)$
    $sin(C) = 0$. Ini berarti $C = 0$ atau $C = pi$ (atau kelipatannya).
    Namun, soal juga memberikan informasi bahwa pada $t=0$, bandul sedang bergerak ke atas. Kita perlu mengecek turunan fungsi untuk memastikan arah gerakan.
    $h'(t) = A cdot B cos(Bt + C)$.
    $h'(0) = 0.5 cdot 3pi cos(3pi cdot 0 + C) = 1.5pi cos(C)$.
    Agar bergerak ke atas, $h'(0) > 0$, sehingga $cos(C) > 0$.
    Jika $C=0$, $cos(0)=1 > 0$. Ini sesuai.
    Jika $C=pi$, $cos(pi)=-1 < 0$. Ini tidak sesuai.
    Jadi, $C=0$.

• Bagian b (Persamaan Lengkap):
  Menggabungkan nilai-nilai yang ditemukan: $h(t) = 0.5 sin(3pi t) + 1$.

• Bagian c (Prediksi Waktu):
  Titik terendah terjadi ketika $h(t)$ minimum, yaitu $0.5$ meter. Ini terjadi ketika $sin(3pi t) = -1$.
  Nilai $-1$ pertama kali dicapai oleh sinus pada $frac3pi2$ radian (atau $270^circ$).
  $3pi t = frac3pi2 + 2kpi$, untuk $k$ bilangan bulat.
  $t = frac12 + frac2k3$.
  Kita perlu mencari nilai t pertama kali setelah $t=0$.
  Jika $k=0$, $t = frac12$ detik.
  Untuk memverifikasi, mari kita lihat siklus:

  • $t=0$: $h=1$, bergerak naik.
  • $t=frac16$: $h=1.5$ (maksimum)
  • $t=frac13$: $h=1$ (kembali ke tengah, bergerak turun)
  • $t=frac12$: $h=0.5$ (minimum)
    Jadi, pertama kali mencapai titik terendah setelah $t=0$ adalah pada $t = frac12$ detik.

Strategi Penyelesaian:
Siswa perlu memahami bagaimana parameter dalam fungsi sinus/kosinus berhubungan dengan karakteristik gelombang (amplitudo, periode, pergeseran fase). Selain itu, mereka harus mampu menginterpretasikan informasi kontekstual (ketinggian maksimum, minimum, posisi awal, arah gerakan) dan menerjemahkannya ke dalam persamaan matematis. Memeriksa kondisi awal dengan turunan fungsi adalah langkah krusial untuk memastikan kebenaran nilai konstanta.

Contoh Soal 2: Evaluasi dan Pemecahan Masalah (Persamaan Trigonometri dan Aplikasi)

Soal:
Seorang insinyur sipil sedang merancang sebuah jembatan lengkung. Bentuk lengkungan jembatan dapat didekati oleh fungsi trigonometri. Diketahui bahwa lebar bentang jembatan adalah 100 meter, dan tinggi maksimum jembatan dari permukaan air adalah 30 meter. Tinggi jembatan dari permukaan air pada jarak x meter dari salah satu ujungnya dapat dimodelkan oleh fungsi $y = -a cos(bx) + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta positif.

a. Tentukan nilai-nilai konstanta $a$, $b$, dan $c$.
b. Jika tinggi jembatan diukur dari permukaan air, tentukan jarak dari ujung jembatan di mana tinggi jembatan adalah 15 meter. Berikan dua solusi yang berbeda.
c. Jelaskan mengapa model fungsi kosinus dengan koefisien negatif dipilih untuk menggambarkan bentuk lengkungan jembatan ini, dibandingkan dengan fungsi sinus atau kosinus dengan koefisien positif.

Indikator HOTS: Mengevaluasi informasi yang diberikan untuk membangun model matematika, menganalisis persamaan untuk menemukan solusi dalam konteks masalah, dan memberikan justifikasi rasional untuk pilihan model.

Analisis Soal:

• Bagian a (Menentukan Konstanta):

  • Model: $y = -a cos(bx) + c$.

  • Lebar bentang 100 meter berarti pada $x=0$ dan $x=100$, tinggi jembatan adalah 0 meter (permukaan air).

  • Tinggi maksimum adalah 30 meter.

  • Titik Terendah/Tertinggi: Fungsi kosinus standar $- cos(bx)$ memiliki nilai minimum -1 dan maksimum 1. Dengan perkalian $-a$ (karena $a>0$), nilai maksimumnya adalah $-a(-1) = a$ dan nilai minimumnya adalah $-a(1) = -a$. Ditambah $c$, rentang nilai fungsi adalah $$.

  • Perhatikan bahwa bentuk $y = -a cos(bx) + c$ memiliki nilai maksimum ketika $cos(bx) = -1$ dan nilai minimum ketika $cos(bx) = 1$.

  • Jika kita mengasumsikan titik terendah model (titik terendah fungsi kosinus) berada pada ketinggian 0 meter, maka:
    $-a(1) + c = 0 implies c = a$.

  • Tinggi maksimum adalah 30 meter. Ini terjadi ketika $cos(bx) = -1$.
    $-a(-1) + c = 30$
    $a + c = 30$.

  • Substitusikan $c=a$:
    $a + a = 30 implies 2a = 30 implies a = 15$.
    Maka, $c = 15$.

  • $b$ (Periode): Bentang jembatan 100 meter mencakup satu "lengkung" penuh. Fungsi kosinus $-a cos(bx)$ memiliki satu puncak ke bawah (minimum) dan satu puncak ke atas (maksimum) dalam satu periode dasar jika dimodifikasi. Namun, dalam konteks jembatan, kita bisa melihat bahwa rentang 100 meter ini mencakup setengah periode dari fungsi kosinus standar yang dimulai dari puncak.
    Jika kita mengasumsikan bahwa titik terendah jembatan (ketinggian 0) berada di $x=0$ dan $x=100$, maka ini berarti setengah periode dari fungsi $-a cos(bx)$ adalah 100 meter.
    Periode dasar fungsi $cos(bx)$ adalah $P = frac2pib$.
    Setengah periode = $frac12 P = fracpib$.
    Jadi, $fracpib = 100 implies b = fracpi100$.

  • Jadi, konstanta yang ditemukan adalah $a=15$, $b=fracpi100$, dan $c=15$.

• Bagian b (Mencari Solusi):
  Persamaan lengkapnya adalah $y = -15 cos(fracpi100x) + 15$.
  Kita ingin mencari x ketika $y=15$ meter.
  $15 = -15 cos(fracpi100x) + 15$
  $0 = -15 cos(fracpi100x)$
  $cos(fracpi100x) = 0$.
  Nilai kosinus adalah 0 ketika sudutnya adalah $fracpi2$, $frac3pi2$, $frac5pi2$, dan seterusnya.
  $fracpi100x = fracpi2 + kpi$, untuk $k$ bilangan bulat.
  $x = 50 + 100k$.
  Kita perlu mencari dua solusi yang berbeda dalam rentang bentang jembatan (0 hingga 100 meter).

  • Untuk $k=0$: $x = 50$ meter. (Ini adalah titik tertinggi jembatan).

  • Untuk $k=1$: $x = 50 + 100 = 150$ meter. (Ini di luar rentang bentang).

  • Untuk $k=-1$: $x = 50 – 100 = -50$ meter. (Ini di luar rentang bentang).

  • Revisi Pemahaman: Model jembatan lengkung biasanya diasumsikan bahwa ujung-ujungnya berada di ketinggian 0. Tinggi maksimum adalah 30 meter. Ketinggian 15 meter adalah setengah dari tinggi maksimum.
    Perhatikan bahwa titik di mana $y=15$ meter adalah ketika $cos(fracpi100x) = 0$. Ini terjadi pada $x=50$ meter. Ini adalah titik tertinggi.
    Jika kita melihat grafik $-15 cos(bx) + 15$:

    • Pada $x=0$, $y = -15 cos(0) + 15 = -15(1) + 15 = 0$. (Ujung jembatan)
    • Pada $x=50$, $y = -15 cos(fracpi2) + 15 = -15(0) + 15 = 15$.
    • Pada $x=100$, $y = -15 cos(pi) + 15 = -15(-1) + 15 = 15 + 15 = 30$. (Titik tertinggi)
      Ini berarti asumsi awal kita tentang titik terendah dan tertinggi perlu disesuaikan dengan cara penempatan titik awal.

    Mari kita ubah pendekatan untuk b. Bentang jembatan 100 meter. Fungsi $y = -a cos(bx) + c$.
    Pada $x=0$, $y=0$.
    Pada $x=100$, $y=0$.
    Tinggi maksimum 30 meter.

    • Jika kita menganggap $x=0$ adalah titik terendah pada model kosinus (titik terendah $-a cos(bx)$ adalah ketika $cos(bx)=1$), maka:
      $y(0) = -a(1) + c = 0 implies c=a$.
      Tinggi maksimum 30 meter terjadi di tengah bentang, yaitu pada $x=50$. Pada titik ini, $cos(b cdot 50)$ harus bernilai -1 agar menghasilkan nilai maksimum.
      $y(50) = -a(-1) + c = 30 implies a+c = 30$.
      Substitusikan $c=a$: $a+a=30 implies 2a=30 implies a=15$. Maka $c=15$.
      Sekarang kita cari $b$. Kita tahu pada $x=100$, $y=0$.
      $y(100) = -15 cos(b cdot 100) + 15 = 0$
      $-15 cos(100b) = -15$
      $cos(100b) = 1$.
      Ini berarti $100b$ harus kelipatan $2pi$.
      $100b = 2kpi$. Untuk $k=1$, $100b = 2pi implies b = frac2pi100 = fracpi50$.

    • Jadi, konstanta yang diperbarui: $a=15$, $b=fracpi50$, $c=15$.
      Persamaan lengkapnya: $y = -15 cos(fracpi50x) + 15$.

    • Sekarang cari x ketika $y=15$ meter.
      $15 = -15 cos(fracpi50x) + 15$
      $0 = -15 cos(fracpi50x)$
      $cos(fracpi50x) = 0$.
      $fracpi50x = fracpi2 + kpi$.
      $x = 25 + 50k$.
      Dua solusi yang berbeda dalam rentang :

      • Untuk $k=0$: $x = 25$ meter.
      • Untuk $k=1$: $x = 25 + 50 = 75$ meter.

• Bagian c (Justifikasi Model):
  Fungsi $y = -a cos(bx) + c$ dengan $a>0, c>0$ memiliki karakteristik:

  • Nilai minimum terjadi ketika $cos(bx)=1$, yaitu $y_min = -a(1) + c = c-a$.
  • Nilai maksimum terjadi ketika $cos(bx)=-1$, yaitu $ymax = -a(-1) + c = c+a$.
    Karena jembatan lengkung memiliki bentuk seperti parabola terbalik (atau melengkung ke bawah), titik terendah (ujung jembatan di permukaan air) harus lebih rendah dari titik tengah (puncak jembatan).
    Dalam model ini, jika kita mengatur agar $ymin=0$ (permukaan air), maka $c-a=0 implies c=a$. Maka $y_max = a+a = 2a$.
    Model $y = -a cos(bx) + c$ secara alami memberikan bentuk melengkung ke bawah ketika $a>0$ dan nilai maksimumnya lebih tinggi dari nilai minimumnya.
  • Jika menggunakan $cos(bx)$, bentuknya akan melengkung ke atas (seperti lembah).
  • Jika menggunakan $-cos(bx)$, bentuknya akan melengkung ke bawah (seperti bukit).
  • Jika menggunakan $sin(bx)$, bentuknya akan dimulai dari titik tengah (0) dan naik atau turun, bukan dari titik minimum di ujung.
    Pemilihan koefisien negatif pada $cos(bx)$ dan penambahan konstanta $c$ memungkinkan penyesuaian titik terendah dan tertinggi agar sesuai dengan geometri jembatan yang melengkung ke bawah dari permukaan air ke ketinggian maksimum di tengah bentang.

Strategi Penyelesaian:
Siswa harus mampu mengidentifikasi bagaimana bentuk grafik fungsi trigonometri (terutama kosinus) dapat dimodifikasi oleh amplitudo, frekuensi sudut, dan pergeseran vertikal. Mereka perlu menghubungkan lebar bentang dan tinggi maksimum dengan periode dan rentang nilai fungsi. Bagian c menguji kemampuan berpikir kritis dalam membandingkan model-model alternatif dan memberikan alasan logis mengapa suatu model lebih tepat.

Contoh Soal 3: Kreasi dan Pemecahan Masalah (Turunan Fungsi Trigonometri dalam Konteks Laju Perubahan)

Soal:
Sebuah lampu gantung dipasang pada ketinggian 5 meter di atas sebuah meja. Bola lampu tersebut memancarkan cahaya yang membentuk kerucut. Sebuah objek berbentuk kubus dengan panjang sisi 1 meter diletakkan di atas meja, tepat di bawah lampu. Sisi kubus yang menghadap lampu berjarak 2 meter dari pangkal tiang lampu (asumsikan tiang lampu adalah garis vertikal dari bola lampu).

Asumsikan cahaya dari lampu membentuk kerucut sempurna. Misalkan $theta$ adalah sudut antara garis horizontal dari lampu ke tepi kerucut cahaya dan garis horizontal dari lampu ke tepi bayangan kubus pada meja.

a. Buatlah model matematis yang menghubungkan jarak dari pangkal tiang lampu ke tepi kerucut cahaya pada meja ($R$) dengan sudut $theta$.
b. Gunakan turunan untuk menemukan laju perubahan $R$ terhadap $theta$ saat $theta = 45^circ$.
c. Jika objek kubus ditarik menjauh dari tiang lampu dengan laju 0.5 meter per detik, tentukan laju perubahan luas bayangan kubus pada meja saat jarak dari tiang lampu ke sisi kubus yang menghadap lampu adalah 3 meter. (Petunjuk: Luas bayangan kubus di meja adalah persegi).

Indikator HOTS: Menciptakan model matematis dari deskripsi geometris, menerapkan konsep turunan untuk menganalisis laju perubahan, dan menghubungkan laju perubahan antar variabel dalam sistem yang kompleks.

Analisis Soal:

• Bagian a (Model Matematis):
  Mari kita gambarkan situasinya.

  • Tinggi lampu dari meja ($H$) = 5 meter.
  • Sisi kubus (panjang sisi $s$) = 1 meter.
  • Jarak dari pangkal tiang lampu ke sisi kubus yang menghadap lampu = 2 meter.

  Kita bisa menggunakan segitiga siku-siku.
  Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh:

  1. Tinggi lampu ke meja (5 m).
  2. Jarak horizontal dari pangkal tiang lampu ke titik di meja.
  3. Garis cahaya dari lampu ke titik di meja tersebut.

  Sudut $theta$ didefinisikan sebagai sudut antara garis horizontal dari lampu ke tepi kerucut cahaya dan garis horizontal dari lampu ke tepi bayangan kubus pada meja. Ini agak ambigu. Mari kita interpretasikan ulang definisi $theta$ agar lebih jelas secara geometris.

  Interpretasi yang lebih mungkin: Misalkan $O$ adalah pusat bola lampu. $P$ adalah titik di meja tepat di bawah lampu. Tinggi $OP = 5$ m. Misalkan $Q$ adalah tepi bayangan kubus di meja. Jarak $PQ$ adalah jarak dari pangkal tiang lampu ke tepi bayangan. Misalkan $R$ adalah jarak dari pangkal tiang lampu ke tepi kerucut cahaya di meja.

  Jika $theta$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis dari lampu ke tepi kerucut cahaya dengan garis horizontal, maka dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi lampu, jarak horizontal $R$, dan garis cahaya:
  $tan(theta) = fractexttinggi lamputextjarak horizontal = frac5R$.
  Jadi, $R tan(theta) = 5$, atau $R = frac5tan(theta) = 5 cot(theta)$.

  Namun, soal menyebutkan "garis horizontal dari lampu ke tepi kerucut cahaya" dan "garis horizontal dari lampu ke tepi bayangan kubus". Ini menyiratkan dua sudut atau dua garis referensi yang berbeda.

  Asumsi yang Lebih Cocok dengan Konteks Fisika Cahaya:
  Misalkan lampu berada di titik $L$. Meja berada pada garis horizontal di bawah $L$. Tinggi lampu dari meja adalah $h = 5$ m.
  Misalkan $P$ adalah titik di meja tepat di bawah $L$.
  Kubus memiliki sisi 1 m. Sisi yang menghadap lampu berjarak 2 m dari $P$.
  Bayangan kubus di meja memiliki lebar $w$.
  Karena cahaya membentuk kerucut, kita bisa menggunakan kesamaan segitiga.
  Segitiga besar: tinggi $h=5$, alas $R$ (jarak dari $P$ ke tepi bayangan di meja).
  Segitiga kecil yang berkaitan dengan kubus: tinggi $h=5$, alas adalah jarak dari $P$ ke sisi kubus yang paling dekat + lebar bayangan.

  Mari kita gunakan sudut elevasi dari lampu ke tepi bayangan.
  Misalkan $alpha$ adalah sudut elevasi dari lampu ke tepi bayangan di meja.
  $tan(alpha) = frachR$.
  Definisi $theta$ dalam soal agak membingungkan. Mari kita coba interpretasikan $theta$ sebagai sudut yang relevan dengan lebar bayangan.

  Kemungkinan Interpretasi Lain untuk $theta$:
  Misalkan lampu di titik $L$. Titik di meja di bawah lampu adalah $P$. Jarak $LP = 5$.
  Sisi kubus yang menghadap lampu berada pada jarak 2 m dari $P$. Sebut titik ini $A$. Jarak $PA = 2$.
  Sisi kubus yang terjauh dari lampu adalah pada jarak $2+1=3$ m dari $P$. Sebut titik ini $B$. Jarak $PB = 3$.
  Tepi kerucut cahaya di meja adalah titik $Q$, sedemikian rupa sehingga $PQ = R$.
  Jika $theta$ adalah sudut antara garis $LP$ (vertikal) dan garis $LQ$ (garis cahaya ke tepi bayangan), maka $tan(theta) = fracPQLP = fracR5$. Ini adalah sudut yang dibentuk dengan garis vertikal.

  Jika $theta$ adalah sudut antara garis horizontal $PQ$ dan garis cahaya $LQ$, maka $tan(theta) = fracLPPQ = frac5R$. Ini adalah sudut elevasi.

  Mari kita asumsikan $theta$ adalah sudut elevasi seperti pada kebanyakan soal optik. Maka, $R = 5 cot(theta)$.

• Bagian b (Laju Perubahan $R$ terhadap $theta$):
  Kita punya $R(theta) = 5 cot(theta)$.
  Kita perlu mencari $fracdRdtheta$.
  Turunan dari $cot(theta)$ adalah $-csc^2(theta)$.
  Jadi, $fracdRdtheta = 5 (-csc^2(theta)) = -5 csc^2(theta)$.

  Saat $theta = 45^circ$, $csc(45^circ) = frac1sin(45^circ) = frac11/sqrt2 = sqrt2$.
  Maka, $csc^2(45^circ) = (sqrt2)^2 = 2$.
  $fracdRdtheta Big|_theta=45^circ = -5 times 2 = -10$.
  Artinya, ketika sudut elevasi adalah $45^circ$, jarak $R$ berkurang sebesar 10 meter untuk setiap radian perubahan sudut (atau perlu dikonversi ke derajat jika $theta$ dalam derajat). Karena $theta$ biasanya dalam radian dalam kalkulus, laju perubahannya adalah -10 meter/radian.

• Bagian c (Laju Perubahan Luas Bayangan):
  Ini adalah soal laju terkait (related rates) yang lebih kompleks.
  Kita perlu menghubungkan jarak objek dari tiang lampu dengan luas bayangan.
  Tinggi lampu $h=5$ m.
  Misalkan $x$ adalah jarak dari pangkal tiang lampu ke sisi kubus yang menghadap lampu.
  Panjang sisi kubus $s=1$ m.
  Lebar bayangan kubus pada meja ($W_bayangan$) dapat ditemukan menggunakan kesamaan segitiga.
  Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh lampu, titik di meja, dan tepi bayangan.
  Tinggi segitiga besar = 5 m. Alas segitiga besar = $R$.
  Kubus berada di antara pangkal tiang lampu dan tepi bayangan.
  Sisi depan kubus berjarak $x$ dari pangkal tiang. Sisi belakang kubus berjarak $x+1$ dari pangkal tiang.
  Jarak dari pangkal tiang ke tepi bayangan kerucut cahaya adalah $R$.
  Kita perlu mencari lebar bayangan yang diperpanjang oleh kubus.

  Bayangan kubus di meja adalah persegi. Luas bayangan $A_bayangan = s^2 = 1^2 = 1$ m$^2$, jika cahaya tidak terhalang. Namun, karena ada objek, luas bayangan yang teramati di meja akan lebih besar.

  Ini adalah soal yang agak rumit dalam pemodelan bayangan kerucut.
  Misalkan cahaya membentuk kerucut dengan sudut bukaan tertentu.
  Cara paling sederhana adalah menganggap kubus memotong kerucut cahaya.
  Bayangan yang dihasilkan adalah area di meja yang tidak terkena cahaya.

  Mari kita gunakan kesamaan segitiga dengan cara yang berbeda.
  Ambil penampang vertikal.
  Lampu di $(0, 5)$. Meja di $y=0$.
  Garis cahaya ke tepi kerucut adalah $y – 5 = m x$ atau $y – 5 = -m x$ (tergantung arah).
  Jika sudut elevasi $theta$, maka $tan(theta) = 5/R$. Garis cahaya adalah $y – 5 = -tan(theta) x$ (jika lampu di $x=0$).
  Pada meja ($y=0$), $0 – 5 = -tan(theta) R implies -5 = -tan(theta) R implies R = 5/tan(theta) = 5 cot(theta)$.

  Kubus: sisi 1 m. Sisi yang menghadap lampu pada jarak $x$ dari pangkal tiang. Sisi terjauh pada jarak $x+1$.
  Bayangan yang dibentuk oleh sisi depan kubus akan mencapai jarak $r_1$ dari pangkal tiang.
  Bayangan yang dibentuk oleh sisi belakang kubus akan mencapai jarak $r_2$ dari pangkal tiang.
  Lebar bayangan di meja adalah $r_2 – r_1$.

  Menggunakan kesamaan segitiga:
  Segitiga kecil (dari lampu ke sisi depan kubus): tinggi 5, alas $x$.
  Segitiga besar (dari lampu ke tepi bayangan sisi depan): tinggi 5, alas $r_1$.
  Ini tidak membantu langsung.

  Mari kita lihat profil tegak lurus dari lampu ke tepi bayangan.
  Misalkan sudut bukaan kerucut cahaya dari lampu adalah $2alpha$.
  Maka, $R = 5 tan(alpha)$.

  Jika kubus berjarak $x$ dari tiang, dan sisinya $s=1$.
  Sisi yang dekat $x$, sisi yang jauh $x+1$.
  Bayangan di meja adalah persegi. Lebar bayangan ($W_bayangan$) adalah sesuatu yang perlu kita cari.

  Kembali ke definisi soal: "Sisi kubus yang menghadap lampu berjarak 2 meter dari pangkal tiang lampu." Ini berarti $x=2$. "panjang sisi 1 meter". "Jika objek kubus ditarik menjauh dari tiang lampu dengan laju 0.5 meter per detik". Ini berarti $fracdxdt = 0.5$ m/s.
  "tentukan laju perubahan luas bayangan kubus pada meja saat jarak dari tiang lampu ke sisi kubus yang menghadap lampu adalah 3 meter." Ini berarti $x=3$.

  Mari kita coba modelkan lebar bayangan.
  Kita perlu mencari lebar bayangan $W$ yang dibentuk oleh kubus pada meja.
  Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh lampu, titik di meja, dan tepi bayangan.
  Tinggi lampu $h=5$.
  Jarak dari pangkal tiang ke sisi kubus yang menghadap lampu adalah $x$.
  Jarak dari pangkal tiang ke sisi kubus yang terjauh dari lampu adalah $x+1$.
  Bayangan yang dihasilkan akan memiliki lebar $W$.
  Kita bisa gunakan kesamaan segitiga pada penampang vertikal yang tegak lurus terhadap sisi kubus yang menghadap lampu.
  Misalkan sudut bukaan kerucut cahaya (total) adalah $2alpha$. Maka $tan(alpha) = fracR5$.
  Ini berarti $R = 5 tan(alpha)$.

  Bayangan kubus di meja adalah persegi. Misalkan sisi bayangan adalah $S$. Luas bayangan $A = S^2$.
  Kita perlu menghubungkan $S$ dengan $x$.
  Pertimbangkan segitiga yang dibentuk oleh lampu dan alas kubus.
  Tinggi lampu $h=5$.
  Sisi depan kubus berjarak $x$. Sisi belakang $x+1$.
  Lebar bayangan $S$ di meja.
  Menggunakan kesamaan segitiga:
  $fracSx+1 = fractextdiameter kerucut pada jarak x+1texttinggi lampu$ ??? Ini sulit.

  Pendekatan Alternatif (Menggunakan pergeseran sudut):
  Misalkan sudut bukaan kerucut dari lampu ke meja adalah $2beta$. Maka $R = 5 tan(beta)$.
  Kubus memiliki sisi 1. Jarak sisi terdekat $x$.
  Bayangan yang dihasilkan oleh sisi terdekat kubus (jarak $x$) akan jatuh pada jarak $r_1$ dari pangkal tiang.
  Bayangan yang dihasilkan oleh sisi terjauh kubus (jarak $x+1$) akan jatuh pada jarak $r_2$ dari pangkal tiang.
  Lebar bayangan $S = r_2 – r_1$.

  Menggunakan kesamaan segitiga:
  Jika $tan(beta)$ adalah kemiringan garis cahaya dari lampu, maka $y – 5 = -tan(beta) z$, di mana $z$ adalah jarak horizontal dari pangkal tiang.
  Untuk sisi kubus yang dekat ($z=x$): $ydepan – 5 = -tan(beta) x$.
  Untuk sisi kubus yang jauh ($z=x+1$): $ybelakang – 5 = -tan(beta) (x